Fünfdimensionale Schwarzschildmetrik


Just for fun sind hier hier (pdf-Datei, 33 KB) und hier noch nicht die kugelsymmetrische Lösung der Einsteinschen Vakuumfeldgleichungen im fünfdimensionalen Raum berechnet. Dies entspricht einer Schwarzschildmetrik in einer Zeit- und vier Raumdimensionen.


Orientiert habe ich mich dabei am Vorgehen Diracs in seinem Buch General Theory of Relativity.

Dirac geht von folgendem kugelsymmetrischen Linienelement aus, wobei nur Abhängigkeiten von der Radiusvariablen r angenommen werden:


Mit diesem Ansatz berechnet er Christoffelsymbole und Ricci-Tensor:


Der Ricci-Tensor ist im Vakuumfall gleich Null. Dies führt auf das vierdimensionale Linienelement, wobei die bei der Integration auftretende Konstante in Anlehnung an die übliche Bezeichnung der Masse als 2m gesetzt wird:


Dies ist Schwarzschilds Lösung.


Die Schwarzschildlösung ist zeitunabhängig. Man kann zeigen, dass dies im kugelsymmetrischen Fall automatisch folgt, auch wenn im Linienelement des Ansatzes eine Zeitabhängigkeit berücksichtigt wird. Das ist außerordentlich bemerkenswert. Kugelsymmetrische Lösungen der Vakuumfeldgleichungen sind somit nicht lediglich stationar, sondern:

Jede kugelsymmetrische Lösung der Vakuumfeldgleichungen
ist statisch.

Entsprechendes gilt auch im fünfdimensionalen Fall.

Ach übrigens, ungeladene kugelsymmetrische Schwarzschildlösungen lassen sich für jede beliebige Dimension bestimmen. Sie lauten in D = n + 2 Dimensionen:




(entnommen dem Übersichtsartikel von J. Lemos)




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