W1 Deterministisches Chaos
Die Gesetze der klassischen Physik sind deterministisch, d.h. dynamische Systeme werden durch Bewegungsdifferenzialgleichungen modelliert, die eine eindeutige Vorschrift zur Berechnung der zeitlichen Systementwicklung aus einem Anfangszustand darstellen. Trotz dieser Determiniertheit zeigt die numerische Berechnung der Bahnkurve oder die Beobachtung z.B. eines periodisch gestoßenen Rotationspendels, dass insbesondere bei größeren Schwingungsamplituden die Pendelbewegung außerordentlich komplex und unregelmäßig verläuft. Obwohl durch die deterministische Dynamik eindeutig vorherbestimmt, ist es praktisch nicht mehr möglich, das Verhalten des Systems mittelfristig vorauszusagen, denn schon kleinste Veränderungen der Anfangsbedingungen führen schnell zu völlig verschiedenen Trajektorien. Die Dynamik solcher Systeme erscheint ungeordnet, chaotisch. Das starke Kausalitätsprinzip, wonach ähnliche Ursachen auch ähnliche Wirkungen haben, wird offensichtlich verletzt. Dies eröffnet eine ganz neue Sichtweise zur Beurteilung dynamischer Prozesse. Als populäre Metapher für die extrem sensitive Abhängigkeit der chaotischen Dynamik von deren Anfangsbedingungen hat der Meteorologe E.N. Lorenz (1917-2008) den Schmetterlingseffekt genannt, wonach der Flügelschlag eines
Schmetterlings entscheiden könne wann und ob an einem anderen Ort ein Tornado entsteht. Chaotisches Verhalten wird durch die Nichtlinearität der Bewegungsgleichungen verursacht. Chaos ist mithin untrennbar mit Nichtlinearität verbunden und Nichtlinearität ist fundamental für das gesamte Naturgeschehen.
Experimentelle Aufgabenstellung:
1. Sie führen zeitaufgelöste Messungen an einem nichtlinearen elektrischen Schwingkreis, dem Chua-Schaltkreis durch. In Abhängigkeit von einer regelbaren Steuerspannung werden verschiedene dynamische Regime beobachtet, konstante Spannungen, periodische Schwingungen, sowie eine Perioden Verdoppelungskaskade bis in einen Bereich von chaotischen Schwingungen. Es sollen Zeitreihen, Phasenraumplots und Leistungsspektren für die verschiedenen Regime sowie eine Feigenbaum Diagramm angefertigt werden.
2. Es sollen außerdem die Kennlinie des nichtlinearen Bauelementes, der Chua-Diode gemessen, und
3. das Modellsystem der Logistischen Abbildung mit einem selbst geschriebenen Computerprogramm untersucht werden.
Vorbereitung:
• Schwingkreise (Reihe und Parallel)
• Mathematisches Pendel
• Diskrete Fourier Reihe, Power Spektrum, Nynquist Frequenz, Oberschwingungen
• Arbeit mit virtuellen Instrumenten in LabVIEW
• Chua -Diode und Chua-Schaltkreis
• Zeitableitungen von Strom und Spannungen im Chua-Schaltkreis und Zusammenhang mit den dimensionslosen Gleichungen
• Periodenverdoppelung in der logistischen Abbildung
• Bedeutung und Berechnung des (maximalen) Lyapunov Exponenten