Mit Stift und Lineal Dreiecke zeichnen, Umfänge und Flächen berechnen - so lernt man die Geometrie in der Schule kennen und so einfach hatte sie auch einmal angefangen. Inzwischen ist sie jedoch den Kinderschuhen entwachsen und hat sich zu einem mächtigen mathematischen Werkzeug entwickelt, mit dessen Hilfe sich fundamentale Probleme der Physik und der Kosmologie beantworten lassen, wie Prof. Dr. Christian Bär zu berichten weiß.
In seiner Antrittsvorlesung "Geometrie im Wandel der Zeit" führte der Professor für Geometrie die Zuhörer durch die spannende Geschichte dieser mathematischen Disziplin. Schon die Alten Ägypter - so war zu hören - konnten die Flächen von Dreieck und Kreis zumindest näherungsweise berechnen. Ihr Wissen nutzten sie unter anderem beim Bau der Pyramiden.
Systematisch befassten sich dann die alten Griechen mit der Geometrie. Sie wollten nicht nur die empirisch gewonnenen Formeln anwenden, sondern auch verstehen, warum sie so sind. Dafür "erfanden" sie den mathematischen Beweis. Etwa 300 vor der Zeit formulierte Euklid Axiome, die die Eigenschaften der Ebene beschrieben. Allerdings war - wohl von Anfang an - eines dieser Axiome, das Parallelenaxiom, umstritten. Es besagt: Zu jeder Geraden gibt es durch einen beliebigen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, höchstens eine Parallele. Strittig war, ob sich das Axiom aus den anderen Euklidischen Axiomen herleiten ließe und damit eigentlich überflüssig wäre. 2000 Jahre bissen sich Gelehrte daran die Zähne aus.
Während in der Geometrie der Antike vornehmlich Begriffe wie Länge, Winkel und Volumen betrachtet wurden, erlaubte die Einführung von Koordinaten durch den Philosophen und Mathematiker René Descartes im 17. Jahrhundert die Beschreibung geometrischer Objekte mit Hilfe von Gleichungen. Damit war es möglich, geometrische Probleme mit Methoden der Algebra, also einem Berechnungsformalismus zu behandeln. Die Algebraische Geometrie war geboren.
Im 19. Jahrhundert wurde schließlich der Streit um das Parallelenaxiom entschieden. Unabhängig voneinander entwickelten der Ungar Janos Bolyai und der Russe Nikolai Ivanovich Lobachevski die Geometrie hyperbolischer, also nach außen gekrümmter Flächen. In der hyperbolischen Geometrie gelten alle Axiome der euklidischen Geometrie außer dem Parallelenaxiom: Es gibt hier nicht nur eine Parallele zu der Geraden sondern unendlich viele. Damit war klar, dass das Parallelenaxiom unabhängig ist, sich nicht aus den anderen herleiten lässt. Wie sich herausstellte, hatte der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß das bereits herausgefunden, seine Erkenntnisse aber nicht veröffentlicht.
Die hyperbolische Geometrie entwickelte sich als ein Zweig der Differenzialgeometrie, die sich mit der mathematischen Beschreibung gekrümmter Flächen und Räume beschäftigt. Damit lassen sich auch so genannte Minimalflächen berechnen, wie sie beispielsweise Seifenblasen darstellen: Die Seifenhaut nimmt nach den vorgegebenen Kanten jeweils die kleinste Fläche an.
Der deutsche Mathematiker Bernhard Riemann führte schließlich das Konzept des gekrümmten mehrdimensionalen Raumes in die Geometrie ein. Dies schien zunächst keinerlei praktischen Bezug zu haben - bis Einstein darauf stieß. Mit Hilfe der riemannschen Geometrie konnte er seine Allgemeine Relativitätstheorie formulieren, die die Gravitation als Krümmung der Raumzeit beschreibt. Damit hatte die Geometrisierung der Physik begonnen. Inzwischen ist es gelungen, auch alle anderen fundamentalen Naturkräfte als Krümmung höherdimensionaler Räume zu beschreiben.
Heute suchen Forscher nach der Quantengeometrie. Sie soll die auf der Differenzialgeometrie basierende Relativitätstheorie und die Quantenmechanik zu einer fundamentalen Theorie von der Welt vereinigen. Ein Kandidat für die gesuchte Quantengeometrie könnte die nichtkommutative Geometrie sein - ein Gebiet, das engen Bezug zur Spektralgeometrie, dem Spezialgebiet von Christian Bär, hat. Darin wird untersucht, wie Schwingungen und die zugehörigen Energien mit der Geometrie eines Systems zusammen hängen - also auf die Alltagswelt bezogen beispielsweise, ob man aus dem Klang einer Trommel deren Form rekonstruieren kann. Wer die Geometrie beherrscht, so der Eindruck am Ende der Vorlesung, hat den Schlüssel zum Verständnis der Welt in der Hand.